Wie meine Vorredner schon angemerkt haben kannst Du unter Home Assistant OS keinen Browser installieren.
Nach dem Motto, ich schließe einen Monitor, eine Tatsur und einen Maus an den NUC an und verwalte meine Home Assistant Instanz auf diesem Weg.
Wenn man aber schon Home Assistant auf einem NUC mit ausreichend Ressourcen im Einsatz hat. Und dieser gerade mal zu 1% Ausgelastet ist (Warum dann überhaupt ein NUC?!) kann man sich schon die Frage stellen, wie nutzte ich die restlichen 99% der Ressourcen?
Eine Möglichkeit die es gäbe, ist eine Virtualisierung Umgebung zu nutzen. Und neben Home Assistant in einer VM, z.B. Windows und oder Linux ebenfalls in einer VM zu installieren. Da wäre zwar noch das Problem mit HDMI Passthrough. Das sich aber je nach Virtualisierung Form und der verwendeten Grafikkarte realisieren ließe.
Eine weitere Möglichkeit wäre Debian Linux als OS zu nutzen und die Home Assistant Supervised Installationsmethode verwenden.
Die Frage ist, ob Du Dir das antun willst, oder nicht einfach Home Assistant OS Home Assistant OS sein lässt.
Und mit einem Zweitgerät auf die Home Assistant Weboberfläche zugreifst.